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Die Wissenschaft ist ein ernstes Geschäft, aber gehört ihr deshalb das letzte Wort?

Kritik der reinen Physik(5): Das Rätsel der Mathematik

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Es ist immer wieder ein Erlebnis, zu beobachten wie Kinder rechnen lernen. Meine kleine Nichte hat sich das Rechnen bis 10 anhand familiärer Meinungsforschung...

Es ist immer wieder ein Erlebnis, zu beobachten wie Kinder rechnen lernen. Meine kleine Nichte hat sich das Rechnen bis 10 anhand familiärer Meinungsforschung erschlossen. Auf die Frage: „Was ist 2+3?“ reagierte sie entsprechend nicht mit einer Antwort, sondern mit einer Reihe von Gegenfragen: „7?… 6?… 5?“. So wie meine Nichte das Rechnen bis 10 gelernt hat, gab es keinen wesentlichen Unterschied zwischen Grundarithmetik und Kinderreimen. Die Nichte meines Freundes hingegen entwickelte eine Meisterschaft im blitzschnellen Fingerabzählen, mit der sie sich bis in höhere zweistellige Bereiche hangeln konnte. Sobald man sie aber ihrer Finger beraubte, war die Rechenfähigkeit verloren. Die kleine Tochter eines Bekannten wiederum versuchte es mit geistiger Kontemplation. Eines Tages öffnete sie mir die Tür, tief in Gedanken versunken, unentwegt vor sich hin murmelnd: „Was ist 5+7? Was ist 5+7?“.

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Genau wie Kinder in Bezug auf die Mathematik völlig unterschiedliche Herangehensweisen entwickeln, gibt es auch in der Erwachsenenwelt Uneinigkeit über das Wesen der Mathematik. Mathematik erscheint rätselhaft. Ist die Mathematik etwas, das wesentlich von uns Menschen abhängt, das aus Konventionen und unserer Art zu Handeln entspringt (so dass man, wie meine Nichte, der Mathematik durch Nachfragen im sozialen Umfeld auf die Spur kommen kann)? Oder gibt es die Mathematik unabhängig von uns in der Welt, repräsentiert in der Anzahl von zählbaren Fingern, Steinchen und später in Naturgesetzen? Oder stammt die Mathematik primär aus unserer Art des Denkens und kann daher unabhängig von jeder Empirie durch reines Nachdenken erschlossen werden?

 

Ein Grund für die Rätselhaftigkeit der Mathematik scheint deren Notwendigkeit und Zeitlosigkeit zu sein. Während wir in den empirischen Naturwissenschaften im Prinzip jederzeit darauf gefasst sind, dass eine Aussage durch Erfahrung falsifiziert werden kann, scheint es für uns unmöglich zu sein, dass sich beim Zusammenzählen von 5 Orangen mit 3 Orangen eines Tages plötzlich etwas anderes als 8 Orangen ergeben könnte. Entsprechend findet man zum Beispiel in der Astrophysik das fortwährende Bestreben, Einsteins Aussagen der Relativitätstheorie anhand von Beobachtungen auf die Probe zu stellen, während man in der Mathematik vergeblich nach Studenten sucht, die auf ebenem Untergrund Dreiecke zeichnend nachprüfen, ob die Winkelsumme ebener Dreiecke tatsächlich in allen möglichen Fällen wie behauptet 180° beträgt. Es scheint also einen erkenntnistheoretischen Unterschied zwischen der Mathematik und den Naturwissenschaften zu geben.

 

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Die rationalistische Philosophie des 17. und 18. Jahrhunderts nahm daher an, dass die Mathematik, anders als das aus Erfahrung abgeleitete Tatsachenwissen, auf notwendigen Vernunftwahrheiten beruht. Gottfried Wilhelm Leibniz versuchte in seinen „Metaphysischen Anfangsgründen der Mathematik“ zu zeigen, dass sich alle Sätze der Mathematik durch Analyse auf grundlegende Axiome und auf metaphysische Grundbegriffe, wie zum Beispiel Begriffe von Zeit, Raum und Dauer, zurückführen lassen. Wenn man mathematische Sätze also gedanklich immer weiter in ihre zugrunde liegenden Bestandteile zerlegt, dann erreicht man nach Leibniz irgendwann einen für uns unmittelbar einsichtigen, wenn auch nicht beweisbaren, Kern von Definitionen und grundlegenden Axiomen (so offensichtlich zutreffend wie z.B. „B ist gleich B“). Die Mathematik entfaltet demnach lediglich, was in dieser metaphysischen Grundlage bereits vorhanden ist. Dies würde zum Beispiel bedeuten, dass die Aussage „7 + 5 = 12″ dadurch ihre Notwendigkeit erlangt, dass die Zwölf in den Begriffen „Fünf“, „Sieben“ und „Summe“ enthalten ist – schon bevor wir überhaupt anfangen, Gegenstände in der Welt zu zählen.

 

Immanuel Kant bestritt diese Vorstellung in seiner berühmten Einleitung zur Kritik der reinen Vernunft. Nach Kant kann man noch so lange über das Wesen von Fünf und Sieben nachdenken, man wird durch reines Nachdenken nie auf die Zwölf als Summe kommen, sofern man sein Denken nicht durch Anschauung, also durch eine sinnliche Erfahrung, ergänzt. Mit anderen Worten: man braucht irgendwann etwas Zählbares wie z.B. Finger, um auf die richtige Summe zu kommen. Trotzdem sah Kant, genau wie Leibniz, dass Mathematik anders als andere Erfahrungserkenntnis wie z.B. die Physik notwendig wahr ist. Die Frage, wie diese beiden Eigenschaften, die Angewiesenheit auf Erfahrung einerseits und die von Erfahrung unabhängige Wahrheit andererseits, zusammen möglich sein können, war ein Anlass für Kant, als Antwort die Kritik der reinen Vernunft zu verfassen. Nach Kant ist die einzige Erklärung für die Existenz solcher synthetischen Sätze a priori, dass die Art unseres Denkens unserer Erkenntnis eine bestimmte Form aufzwingt. Damit wir Vorgänge in der Welt verstehen können, müssen diese bestimmten Regeln gehorchen. Arithmetik und Geometrie sind notwendig wahr, weil sie der Art entsprechen, wie wir die Welt verstehen.

 

Während Kant und Leibniz sich einig waren, dass mathematische Sätze notwendig wahr sind, hielt John Stuart Mill (1806-1873) bereits dies für eine Täuschung. Mathematische Aussagen haben nach Mill ihren Ursprung allein in empirischer Erfahrung. In der Hinsicht unterscheiden sie sich nicht von Sätzen der Physik. Allerdings entstehen sie durch eine so extreme Verallgemeinerung unter Vernachlässigung individueller Eigenschaften von Gegenständen, dass sie permanent durch die Dinge in der Welt bestätigt werden und uns damit die Illusion von Notwendigkeit aufdrängen. Zahlen können entsprechend als Bezeichnungen physischer Phänomene gesehen werden. Das, was ein Paar Äpfel mit einem Paar Birnen gemeinsam hat, wird von uns mit der Zahl 2 bezeichnet, wobei wir alle offensichtlichen Unterschiede zwischen Äpfeln und Birnen ignorieren. Der Erfolg der Mathematik in ihrer Anwendung für die Naturwissenschaften beruht nach Mill auf dem Erfolg der Methode, komplexe Phänomene mithilfe von Gesetzen zu erklären, die sich auf einfachere Phänomene beziehen.

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Anfang des 20. Jahrhunderts galt die Frage nach dem Wesen und der Grundlage der Mathematik nach wie vor als ungeklärt, und angesichts einer Vielzahl neuer Entwicklungen insbesondere in den Bereichen von Geometrie und Analysis gab es die Sorge, dass sich die Unsicherheit in den Grundlagen der Mathematik auf die Gültigkeit dieser Ergebnisse auswirken könnte. Das Ziel des Programms einer Grundlegung der Mathematik sollte daher sein, Zweifel in mathematischen Angelegenheiten und die Existenz mathematischer Wahrheiten verschiedener Art prinzipiell auszumerzen. Die Mathematik sollte auf ein sicheres Fundament gestellt werden.

 

Gottlob Frege sah als eine potentiell verlässliche und sichere Grundlage die Logik an, zu der die Mathematik ja ohnehin eine große Nähe zu besitzen scheint. Seine Idee war daher, die Mathematik vollständig auf logische Begriffe und Sätze zurückzuführen, um sie von Unsicherheiten zu befreien. Dieses Programm eines Logizismus stieß aber auf eine Reihe von Schwierigkeiten. Sein endgültiges Scheitern wurde besiegelt, als Bertrand Russell Frege auf Antinomien, auf innere Widersprüche, innerhalb dessen Grundlegung aufmerksam machte. Die Existenz einer Antinomie ist für die Gültigkeit einer Theorie verheerend, da sie zur Folge hat, dass innerhalb der Theorie alles bewiesen werden kann. Die Russellschen Antinomien beruhten im Prinzip auf der Möglichkeit, Situationen analog zum Barbier-Paradoxon zu konstruieren: Der Barbier rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren – rasiert er sich selbst? Tatsächlich war dem Problem innerhalb des Logizismus nicht beizukommen, ohne wichtige Errungenschaften wie die Grundlegung einer Theorie der reellen Zahlen zurücknehmen zu müssen – eine inakzeptable Konsequenz.

 

Neben dem Logizismus gab es zwei weitere Hauptströmungen in der Philosophie der Mathematik: den Intuitionismus und den Formalismus. Der Intuitionismus um Luitzen E. J. Brouwer ging davon aus, dass Mathematik nur existiert, indem sie von uns gedacht wird. Dementsprechend kann man eine mathematische Aussage nur dann als wahr bezeichnen, wenn sie durch uns mithilfe einer intuitiven, geistigen Konstruktion bewiesen werden kann. Diese Anforderung unterwirft die Mathematik strengen Beschränkungen. Beispielsweise ist damit das Operieren mit unendlichen Mengen ausgeschlossen, da der menschliche Geist niemals Zugang zu einer aktual unendlichen Menge haben kann. Genauso müssen Intuitionisten auf den Satz vom ausgeschlossenen Dritten verzichten: da Wahrheit mit konstruktiver Beweisbarkeit identifiziert wird, kann es Aussagen geben, die weder wahr noch falsch sind, sofern wir sie weder beweisen noch widerlegen können.

 

Auf der anderen Seite wählte David Hilbert als Vertreter des Formalismus zur Neubegründung der Mathematik eine axiomatische Methode. Als Ausgangspunkt wählt man möglichst wenige, anschauliche Prinzipien, die man anhand von Axiomen formuliert. Ausgehend von diesen Axiomen werden dann anhand streng formalisierter Beweise die mathematischen Sätze abgeleitet. Mathematik ist damit ein kalkülgemäßes Operieren unabhängig von jeder weiteren Interpretation. Um die Sicherheit dieses Verfahrens zu gewährleisten, ist außerdem eine Metamathematik notwendig, die beispielsweise sicherzustellen hat, dass die Axiome in sich widerspruchsfrei sind. Kurt Gödel konnte allerdings zeigen, dass ein solcher Nachweis bereits für eine Arithmetik der natürlichen Zahlen unmöglich ist. Seine Unvollständigkeitssätze demonstrieren, dass es immer Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Die Widerspruchsfreiheit eines Systems ist nicht aus dessen Axiomen ableitbar. Hilberts Programm war damit ähnlich gescheitert wie Freges Rückführung der Mathematik auf die Logik.

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Obwohl es also viele verschiedene Ansätze gab, dem Rätsel der Mathematik auf die Spur zu kommen, gibt es nach wie vor keinen Konsens darüber, wie die Mathematik philosophisch zu interpretieren ist. Diese Frage wird aber insbesondere interessant, wenn man an die starke Mathematisierung von Theorien innerhalb der theoretischen Physik denkt. Wenn in Grenzbereichen möglicher empirischer Erfahrung experimentelle Befunde fehlen, argumentieren Physiker gerne mit der mathematischen Stimmigkeit einer Theorie. Aber was bedeutet das eigentlich genau? Meine Nichte scheint davon unabhängig zumindest Intuitionistin zu sein. Heute habe ich sie gefragt, warum zwei plus drei fünf sind. Ihre Antwort: „Das kann man einfach durchzählen. Man nimmt die Drei und nimmt dann zwei dazu: 3 und dann 4, 5. Also zum Beispiel mit Fingern. Aber in der Schule darf man das nicht mit Fingern.“ „Und was macht man wenn man ganz große Zahlen hat? Auch mit Fingern?“ „Nein. In der Schule haben wir da zum Beispiel Hunderter-Plättchen in gold.“ „Und wenn es keine Menschen gäbe, wäre dann immer noch zwei plus drei fünf?“ „Wenn es nur Löwen und Vögel und so gäbe? Na, die können ja nicht reden und schreiben.“ „Also wäre 2 + 3 dann nicht 5?“ „Neeeee.“

 Fotos und Zeichnung: Sibylle Anderl

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12 Lesermeinungen

  1. Die Mathematik ist nur...
    Die Mathematik ist nur zunächst eine Interpretation, die wir auf sprachlicher Ebene vollziehen.
    Schon die Addition von 2 – doch in Ihrer Form, Aussehen und Gewicht sich unterscheidenden Äpfeln und die Gleichsetzung 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel stellt eine Abstraktion und letztendlich eine Vergröberung der Realität dar. Die Mathematik setzt gleich, obwohl es in der Realität nie zwei völlig identische Dinge gibt.
    Obwohl die Mathematik die Realität beständig fälscht, ist sie dennoch überaus erfolgreich, weil es eben oft zweckmäßig ist zu vergröbern, indem man gleichsetzt. So ist es eben wahrscheinlicher, dass 2 Äpfel normaler Größe eher satt machen als einer.
    Und so ist die Mathematik eine Wissenschaft, die uns hilft in der Realität besser zurechtzufinden, wobei dies natürlich nur ein verkürzter Aspekt über die Rolle der Mathematik darstellt.

  2. Ein schöner Artikel. Als...
    Ein schöner Artikel. Als Ergänzung zu empirischen Sachverhalten in der Mathematik: Dass Theorien der Mathematik sich gut anwenden lassen, liegt nicht nur an der Mathematik selbst, sondern an dem Teil, den wir auch nutzen, und der ist menschgemacht, er ist, sozusagen, so gemacht, dass er geeignet funktioniert. Ich habe eine Sachverhalt X und möchte diesen formalisieren.
    Als zweites ließe sich noch ergänzen, inbes. in Bezug auf die Dreiecke, eine witzige Sache: Auf der einen Seite gibt es den Satz, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, es gibt ihn als formalen Satz und als gedeuteten Satz. Es ist hier zugegeben widersinnig anzunehmen, dass sich eine Umdeutung findet. Zu beachten ist, dass es sich um eine Umdeutung von Begriffen handelt. Lakatos hat hierzu ein sehr schönes Modell entworfen. Dort wird auch deutlich, dass Physiker ihre Theorien nicht ständig überprüfen oder versuchen zu widerlegen.
    Besonders interessant ist die Entwicklung der Mathematik im ausgehenden 18. Jahrhundert bis Ende des 19. Jahrhunderts, hier wurden viele für uns heute elementare und wichtige Begriffe entwickelt, widerlegt, verbessert und verworfen, etwa Begriffe wie ‚Zahl‘, ‚reelle Zahl‘, ‚Stetigkeit‘ uvm. .
    Zu Zahlen gelangt man üblicherweise durch das Zählen. Der Begriff ‚Zahl‘ wird vom Zählvorgang induziert und erhält Referenz über eine Ziffer, diese kann von sehr versch. Natur sein, Finger, 0-9, Bäume, Stühle, was auch immer. Spannend ist die Frage, inwieweit der Zahlbegriff vom Zähler abhängt, also von der Deutung.

  3. Zu Ihrer Einleitung (wie...
    Zu Ihrer Einleitung (wie rechnen verschiedene Kinder) gibt es ein Buch von Stanislas Dehenae: „La bosse des maths“ („Der Zahlensinn“), das sich damit beschäftig was im Gehirn passiert, wenn man zählt oder rechnet. Sehr schöne Darstellungen und Experimente wie kleine Kinder und manche Tiere zählen, wie Rechengenies rechnen und welche Teile des Gehirns bei welchen mathematischen Problemen eine Rolle spielen. Gut geschrieben, wäre einen eigenen Beitrag wert.

  4. Vielen Dank für den...
    Vielen Dank für den interessanten Artikel.
    Im Hinblick auf die verblüffende Frage, warum die doch so abstrakten mathematischen Konstruktionen sich so wunderbar auf die empirische Welt anwenden lassen, scheinen derzeit, so glaube ich zumindest, diejenigen Erklärungsansätze am meisten Erfolg zu versprechen, die gewöhnlich unter der Überschrift „evolutionäre Erkenntnistheorie“ zusammengefasst werden. Letztlich muss es doch damit zusammenhängen, dass sich unser Denkorgan in einem langen Evolutionsprozess der Anpassung an eben diese empirische Welt entwickelt hat. Ein Vorteil dieses Ansatzes ist, dass man damit auch ganz gut erklären kann, warum unsere Anschauung und der gesunde Menschenverstand in „Grenzgebieten“ weit abseits unserer gewöhnlichen Lebensumgebung (etwa im mikro- oder makrokosmischen Bereich) so kläglich versagen.
    Über die philosophische Grundlegung und Interpretation der Mathematik darf ich vielleicht noch auf einen Artikel von Thomas Rießinger hinweisen, den ich persönlich als sehr erhellend empfand: Wahrheit oder Spiel, Philosophische Probleme der Mathematik, in: Aufklärung und Kritik 2/2010.
    http://www.gkpn.de/Riessinger_Mathematik.pdf

  5. Die Windkelsumme von 180 Grad...
    Die Windkelsumme von 180 Grad in einem Dreieck führt der Autor als Beispiel für eine matematische Tatsache an, die nicht angezweifelt wird. Genau das wird jedoch durch die nichteuklidschen Geometrien verneint, d.h. die Summe kann eben mehr bzw. weniger als 180 Grad betragen.
    In Zusammenhang mit dem Göddelschen ist klar, daß man die Konsistenz dieser Geometrien nicht beweisen kann, aber man kann beweisen, daß sie konsistent sind, falls die klassische euklidische Geometrie es ist. Desweiteren kann man zeigen, daß eine reelle Beschreibung der Welt mit genügend Präzision sowohl von diesen als auch von der klassischen Geometrie erreichen läßt.
    Interresant daran finde ich, daß Modelle, die die Welt anders beschreiben und sich gegenseitig widersprechen, genauso konsistent sein und letztendlich zu den gleichen Ergebnissen führen können, so daß man sich aussuchen kann, welches am einfachsten anzuwenden ist. Manchmal beschleicht mich das gleiche Gefühl, wenn die Diskussion um Weltanschauungen geht. Ein interessanter Gedanke.
    Gut, bin kein Mathematiker, hoffe ich habe keinen Unsinn wiedergegeben. Der Artikel war sehr interessant, bitte mehr solche Artikel

  6. Toll! Ich bin beeindruckt und...
    Toll! Ich bin beeindruckt und hoffe, Ihre wunderbar geistreichen Gedanken bald als Buch geniessen zu können.

  7. Dankeschön, nauplius :)!...
    Dankeschön, nauplius :)!

  8. Vielen Dank für Ihren...
    Vielen Dank für Ihren Kommentar, TMonger. Meiner Ansicht nach erschöpfen sich die philosophischen Fragen in Bezug auf die Mathematik nicht ausschließlich in der Frage nach ihrer empirischen Anwendbarkeit, wenngleich dies natürlich ein überaus spannendes und tatsächlich verblüffendes Thema ist. Wenn man sich diese Frage aber stellt, stehen mit Kant und Mill ja mindestens zwei Antwortmöglichkeiten zur Verfügung: es könnte sein, dass wir nur erkennen können, was den Bedingungen der Möglichkeit unserer Erkenntnis entspricht, oder aber es könnte sich bei der Mathematik um sehr allgemeine, empirisch erfahrbare Zusammenhänge in der Welt handeln. Tatsächlich finde ich eine Entscheidung in dieser Frage aber nicht einfach…

  9. Wunderschön, gratuliere....
    Wunderschön, gratuliere.

  10. Durchaus interessanter...
    Durchaus interessanter Artikel. Geht jedoch am Kern etwas vorbei, nämlich zu fragen oder zu erklären, warum offenbar mathematische Strukturen so gut die Welt abbilden können und warum wir mit Hilfe der Mathematik so gut Ereignisse in der Welt vorhersagen können.
    Je mehr man darüber nachdenkt, desto mehr muss man staunen, wie fantastisch gut die Mathematik in die Welt „passt“. Und das, obwohl nur ganz wenige und sehr grundlegende Axiome ausreichen, um die vorhandene Mathematik aufzubauen (Stichwort ZFC-Axiome).
    Wirklich verblüffend.

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